20241213

热交换器的计算

对于热交换器涉及到的变量就更多，有：热流体的流量，冷流体的流量，热流体的进口、出口温度，冷流体的进口、出口温度，一共有 6 个变量。如果单纯地通过做实验的方式，我们只能得到一些感性的认识，例如增加内部或外部的流量，可以使热流体或冷却流体的温度更加均匀。但是这些变量之间是什么关系？如何组合出能够满足要求的流量？如果我们不了解内部的规律是没法进行的。

这里以空气热交换器为例，介绍一下理论联系实际的操作过程。

因为我们要解决换热器的设计问题，所以我们要去找相应的理论知识，很多教材上都会有 LMTD（对数平均温差）这个术语和它的计算公式

$$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{lm}}=\frac{\mathrm{\Delta }{T}_1-\mathrm{\Delta }{T}_2}{\ln \left(\frac{\mathrm{\Delta }{T}_1}{\mathrm{\Delta }{T}_2}\right)}$$

其中：

• $\mathrm{\Delta }{T}_1$ 是换热器进口的温差。
• $\mathrm{\Delta }{T}_2$ 是换热器出口的温差。

LMTD 适用于并流、逆流、混合流等换热器类型，不同流动方式会影响 LMTD 的计算方式，但计算原理基本一致。也就是出口，和入口的定义不同，更具体的来说

对于并流换热器（冷热流体同向流动）： $$LMTD=\frac{(T_{h,in}-T_{c,in})-(T_{h,out}-T_{c,out})}{\ln (\frac{T_{h,in}-T_{c,in}}{T_{h,out}-T_{c,out}})}$$

对于逆流换热器（冷热流体反向流动）： $$LMTD=\frac{(T_{h,in}-T_{c,out})-(T_{h,out}-T_{c,in})}{\ln (\frac{T_{h,in}-T_{c,out}}{T_{h,out}-T_{c,in}})}$$

LMTD 与热交换量 $Q$ 间的关系为 $$Q=hA\mathrm{\Delta }{T}_{\text{lm}}$$ 其中：

• $h$ 是换热器的整体热传递系数。
• $A$ 是换热器的传热面积。
• $\mathrm{\Delta }{T}_{\text{lm}}$ 是 LMTD平均温差

这里举个例子，假设我们有一款冷热流体反向流动的热交换器，

• 热流体入口温度：$T_{\text{h,in}}={100}^{\circ }C$
• 热流体出口温度：$T_{\text{h,out}}={70}^{\circ }C$
• 冷流体入口温度：$T_{\text{c,in}}={30}^{\circ }C$
• 冷流体出口温度：$T_{\text{c,out}}={40}^{\circ }C$
• 热交换系数 $h=10{\text{W/m}}^2\cdot \text{°C}$（假设值）
• 热交换器的面积 $A=2{\text{m}}^2$（假设值）

步骤1：计算LMTD

根据LMTD公式：

$$LMTD=\frac{(T_{\text{h,in}}-T_{\text{c,out}})-(T_{\text{h,out}}-T_{\text{c,in}})}{\ln \left(\frac{T_{\text{h,in}}-T_{\text{c,out}}}{T_{\text{h,out}}-T_{\text{c,in}}}\right)}$$

代入数值计算：

$$\begin{array}{rl}LMTD& =\frac{(100-40)-(70-30)}{\ln \left(\frac{100-40}{70-30}\right)}\\ & =\frac{60-40}{\ln \left(\frac{60}{40}\right)}=\frac{20}{\ln (1.5)}\\ & \approx \frac{20}{0.4055}\approx {49.4}^{\circ }C\end{array}$$

步骤2：计算热交换量

热交换量$Q$的计算公式为：

$$Q=hA\mathrm{\Delta }{T}_{\text{lm}}=10{\text{W/m}}^2\cdot \text{°C}\times 2{\text{m}}^2\times 49.4\text{°C}$$

计算得到： $$Q=10\times 100\times 49.4=988\text{W}$$ 根据上述计算，这款热交换器的热交换量为 988 W。

很多教材的内容到这一步计算出了热交换量就完了.但是对于实际的应用好像还差一步，就是冷流体和热流体的风扇或者泵的转速对进出口温度的影响，只有打通这一步才能指导我们的实际工作。经过更进一步地探究，我们可以绘制出冷流体风扇转速对各温度的影响如下：

定义的常数：

• 进气温度：$T_{\text{ci}}=25{}^{\circ }C$
• 热功率：$q=1500\text{W}$
• 密度：$\rho =1.07{\text{kg/m}}^3$
• 比热容：$c_p=1008\text{J/kg·°C}$
• 管道直径：$D=5.85\text{mm}=5.85\times {10}^{-3}\text{m}$
• 管道面积：$A=9.36{\text{m}}^2$
• 热传导系数：$k=0.02821\text{W/m·°C}$
• 冷空气风扇转速：$N_c=6000\text{RPM}$
• 热空气风扇转速：$N_h$（待求解）

方程式：

1. 热流体与冷流体之间的热交换方程：

2. 对于冷流体，基于能量平衡公式： $$\frac{0.053\cdot N_c-26.622}{3600}\cdot \rho \cdot c_p\cdot (T_{\text{co}}-T_{\text{ci}})=q$$ 其中，$T_{\text{co}}$ 是冷流体的出口温度，$T_{\text{ci}}$ 是冷流体的入口温度。

3. 对于热流体，基于能量平衡公式： $$\frac{0.049\cdot N_h-26.622}{3600}\cdot \rho \cdot c_p\cdot (T_{\text{hi}}-T_{\text{ho}})=q$$ 其中，$T_{\text{hi}}$ 是热流体的入口温度，$T_{\text{ho}}$ 是热流体的出口温度。

4. 根据热交换器的温度差方程，计算热端和冷端的温度差： $$\frac{(T_{\text{hi}}-T_{\text{co}})-(T_{\text{ho}}-T_{\text{ci}})}{\ln \left(\frac{T_{\text{hi}}-T_{\text{co}}}{T_{\text{ho}}-T_{\text{ci}}}\right)}=\frac{2qD}{7.54kA}$$

5. 解方程： 使用 sympy.solve() 求解上述三个方程，得到冷流体出口温度 $T_{\text{co}}$，热流体出口温度 $T_{\text{ho}}$ 和热流体入口温度 $T_{\text{hi}}$ 随热空气风扇转速 $N_h$ 的变化关系。

6. 计算结果：

7. $T_{\text{co}}$、$T_{\text{ho}}$、$T_{\text{hi}}$ 是随着热空气风扇转速 $N_h$ 变化的函数，可以通过 lambdify 将解转化为可计算的函数。

方程解：

• 我们通过 sympy.solve() 求解系统方程，得到：
• $T_{\text{co}}$（冷流体出口温度）为： $$T_{\text{co}}=f(N_h)$$
• $T_{\text{ho}}$（热流体出口温度）为： $$T_{\text{ho}}=f(N_h)$$
• $T_{\text{hi}}$（热流体入口温度）为： $$T_{\text{hi}}=f(N_h)$$

这些解是基于热空气风扇转速 $N_h$ 的不同值计算出来的。

总结：

1. 计算的关键方程是基于热流体和冷流体之间的能量传递关系，考虑了热交换器的温度差和热功率。
2. 求解结果可以通过绘图展示热空气风扇转速对各温度（$T_{\text{co}}$，$T_{\text{ho}}$，$T_{\text{hi}}$）的影响。
3. 在代码中，我们使用了 lambdify 将符号解转化为数值函数，并绘制了不同风扇转速下的温度变化图。