20241213

热交换器的计算

对于热交换器涉及到的变量就更多，有：热流体的流量，冷流体的流量，热流体的进口、出口温度，冷流体的进口、出口温度，一共有 6 个变量。如果单纯地通过做实验的方式，我们只能得到一些感性的认识，例如增加内部或外部的流量，可以使热流体或冷却流体的温度更加均匀。但是这些变量之间是什么关系？如何组合出能够满足要求的流量？如果我们不了解内部的规律是没法进行的。

这里以空气热交换器为例，介绍一下理论联系实际的操作过程。

因为我们要解决换热器的设计问题，所以我们要去找相应的理论知识，很多教材上都会有 LMTD（对数平均温差）这个术语和它的计算公式

\[ \Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} \]

其中：

• \(\Delta T_1\) 是换热器进口的温差。
• \(\Delta T_2\) 是换热器出口的温差。

LMTD 适用于并流、逆流、混合流等换热器类型，不同流动方式会影响 LMTD 的计算方式，但计算原理基本一致。也就是出口，和入口的定义不同，更具体的来说

对于并流换热器（冷热流体同向流动）： $$ LMTD = \frac{(T_{h,in} - T_{c,in}) - (T_{h,out} - T_{c,out})}{\ln(\frac{T_{h,in} - T_{c,in}}{T_{h,out} - T_{c,out}})} $$

对于逆流换热器（冷热流体反向流动）： $$ LMTD = \frac{(T_{h,in} - T_{c,out}) - (T_{h,out} - T_{c,in})}{\ln(\frac{T_{h,in} - T_{c,out}}{T_{h,out} - T_{c,in}})} $$

LMTD 与热交换量 \(Q\) 间的关系为 $$ Q=h A \Delta T_{\text{lm}} $$ 其中：

• \(h\) 是换热器的整体热传递系数。
• \(A\) 是换热器的传热面积。
• \(\Delta T_{\text{lm}}\) 是 LMTD平均温差

这里举个例子，假设我们有一款冷热流体反向流动的热交换器，

• 热流体入口温度：\(T_{\text{h,in}} = 100^\circ C\)
• 热流体出口温度：\(T_{\text{h,out}} = 70^\circ C\)
• 冷流体入口温度：\(T_{\text{c,in}} = 30^\circ C\)
• 冷流体出口温度：\(T_{\text{c,out}} = 40^\circ C\)
• 热交换系数 \(h = 10 \, \text{W/m}^2\cdot\text{°C}\)（假设值）
• 热交换器的面积 \(A = 2 \, \text{m}^2\)（假设值）

步骤1：计算LMTD

根据LMTD公式：

\[ LMTD = \frac{(T_{\text{h,in}} - T_{\text{c,out}}) - (T_{\text{h,out}} - T_{\text{c,in}})}{\ln\left(\frac{T_{\text{h,in}} - T_{\text{c,out}}}{T_{\text{h,out}} - T_{\text{c,in}}}\right)} \]

代入数值计算：

\[ \begin{align} LMTD &= \frac{(100 - 40) - (70 - 30)}{\ln\left(\frac{100 - 40}{70 - 30}\right)} \\ &= \frac{60 - 40}{\ln\left(\frac{60}{40}\right)} = \frac{20}{\ln(1.5)} \\ &\approx \frac{20}{0.4055} \approx 49.4^\circ C \end{align} \]

步骤2：计算热交换量

热交换量\(Q\)的计算公式为：

\[ Q = h A \Delta T_{\text{lm}} = 10 \, \text{W/m}^2\cdot\text{°C} \times 2 \, \text{m}^2 \times 49.4 \, \text{°C} \]

计算得到： $$ Q = 10 \times 100 \times 49.4 = 988 \, \text{W} $$ 根据上述计算，这款热交换器的热交换量为 988 W。

很多教材的内容到这一步计算出了热交换量就完了.但是对于实际的应用好像还差一步，就是冷流体和热流体的风扇或者泵的转速对进出口温度的影响，只有打通这一步才能指导我们的实际工作。经过更进一步地探究，我们可以绘制出冷流体风扇转速对各温度的影响如下：

定义的常数：

• 进气温度：\(T_{\text{ci}} = 25 \, ^\circ C\)
• 热功率：\(q = 1500 \, \text{W}\)
• 密度：\(\rho = 1.07 \, \text{kg/m}^3\)
• 比热容：\(c_p = 1008 \, \text{J/kg·°C}\)
• 管道直径：\(D = 5.85 \, \text{mm} = 5.85 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
• 管道面积：\(A = 9.36 \, \text{m}^2\)
• 热传导系数：\(k = 0.02821 \, \text{W/m·°C}\)
• 冷空气风扇转速：\(N_c = 6000 \, \text{RPM}\)
• 热空气风扇转速：\(N_h\)（待求解）

方程式：

1. 热流体与冷流体之间的热交换方程：

2. 对于冷流体，基于能量平衡公式： $$ \frac{0.053 \cdot N_c - 26.622}{3600} \cdot \rho \cdot c_p \cdot (T_{\text{co}} - T_{\text{ci}}) = q $$ 其中，\(T_{\text{co}}\) 是冷流体的出口温度，\(T_{\text{ci}}\) 是冷流体的入口温度。

3. 对于热流体，基于能量平衡公式： $$ \frac{0.049 \cdot N_h - 26.622}{3600} \cdot \rho \cdot c_p \cdot (T_{\text{hi}} - T_{\text{ho}}) = q $$ 其中，\(T_{\text{hi}}\) 是热流体的入口温度，\(T_{\text{ho}}\) 是热流体的出口温度。

4. 根据热交换器的温度差方程，计算热端和冷端的温度差： $$ \frac{(T_{\text{hi}} - T_{\text{co}}) - (T_{\text{ho}} - T_{\text{ci}})}{\ln \left( \frac{T_{\text{hi}} - T_{\text{co}}}{T_{\text{ho}} - T_{\text{ci}}} \right)} = \frac{2qD}{7.54kA} $$

5. 解方程： 使用 sympy.solve() 求解上述三个方程，得到冷流体出口温度 \(T_{\text{co}}\)，热流体出口温度 \(T_{\text{ho}}\) 和热流体入口温度 \(T_{\text{hi}}\) 随热空气风扇转速 \(N_h\) 的变化关系。

6. 计算结果：

7. \(T_{\text{co}}\)、\(T_{\text{ho}}\)、\(T_{\text{hi}}\) 是随着热空气风扇转速 \(N_h\) 变化的函数，可以通过 lambdify 将解转化为可计算的函数。

方程解：

• 我们通过 sympy.solve() 求解系统方程，得到：
• \(T_{\text{co}}\)（冷流体出口温度）为： $$ T_{\text{co}} = f(N_h) $$
• \(T_{\text{ho}}\)（热流体出口温度）为： $$ T_{\text{ho}} = f(N_h) $$
• \(T_{\text{hi}}\)（热流体入口温度）为： $$ T_{\text{hi}} = f(N_h) $$

这些解是基于热空气风扇转速 \(N_h\) 的不同值计算出来的。

总结：

1. 计算的关键方程是基于热流体和冷流体之间的能量传递关系，考虑了热交换器的温度差和热功率。
2. 求解结果可以通过绘图展示热空气风扇转速对各温度（\(T_{\text{co}}\)，\(T_{\text{ho}}\)，\(T_{\text{hi}}\)）的影响。
3. 在代码中，我们使用了 lambdify 将符号解转化为数值函数，并绘制了不同风扇转速下的温度变化图。